на школьную страницу...

67 Мальцевская олимпиада по математике (2016 г.)

27 марта 2016 г. в ИвГУ (г.Иваново, ул. Ермака 37) прошла 67 Мальцевская олимпиада по математике для школьников 8-11 классов г. Иваново и Ивановской области.

Мало баллов? Так ведь это МАТЕМАТИКА!
И ни одна решённая задача, и даже ни одна попытка решить её — не зря!

Есть ещё порох в пороховницах!

Задачи

8 класс

  1. На какое наименьшее число процентов нужно увеличить цену товара, чтобы, продавая его потом с пятидесятипроцентной скидкой, не остаться в убытке?
  2. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 18 и 25. Найдите стороны треугольника.
  3. Докажите, что
        
  4. Если то чему равно значение многочлена
        
  5. Обращаясь к кассиру магазина, покупатель сказал: «Получите, пожалуйста, с меня за две пачки соли по 9 рублей, за два куска мыла по 27 рублей, за три пачки сахара и за 6 коробок спичек, но стоимость сахара и спичек я не помню».
    Кассир выдал покупателю чек на 292 рубля. Взглянув на чек, покупатель вернул его кассиру и сказал: «Вы несомненно ошиблись в подсчёте общей суммы».
    Кассир проверил и согласился. Как покупатель обнаружил ошибку?

9 класс

  1. Числа a,b,c таковы, что выполняется равенство
        
    Какие значения может принимать выражение
        
  2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
        
    Найдите угол CDB.
  3. Петя заметил, что если число 2 приписать справа к любому натуральному числу, то полученное число будет делиться на 2. То же самое происходит и с числом 5. Найдите все такие натуральные числа n, меньшие 1000, после приписывания которых справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на n.
  4. Петя последовательно занумеровал числами от 1 до 1000 вершины 1000-угольника и, начиная с первой, по кругу начал отмечать каждую пятнадцатую вершину (1,16,31 и т.д.). Сделав, возможно, несколько кругов, он заметил, что все отмечаемые вершины уже найдены, т.е. он отмечает только уже отмеченные ранее вершины. Сколько вершин остались неотмеченными?
  5. Сравните без помощи калькулятора числа:
        
  6. Найдите все такие функции f(x), что f(2x+1) = 4 x2 + 14x + 7.

10 класс

  1. Докажите, что произведение любых четырёх последовательных натуральных чисел, увеличенное на единицу, является квадратом целого числа.
  2. Два города А и В расположены на берегу реки на расстоянии 10 км друг от друга. Пароход проплывает из А в В и обратно за 1 час. Больше или меньше ему понадобится времени, чтобы проплыть 20 км по озеру?
  3. На стороне ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) взяли точки М и N (N ближе к В, чем М) такие, что NM=АМ и угол МАС равен углу ВАN. Найти угол САN.
  4. Докажите, что если a не делится на 2 и 3, то a2 делится на 24.
  5. Можно ли в таблицу 5×5 записать числа 1,2…, 25 так, чтобы в каждой строке сумма некоторых из записанных в ней чисел была равна сумме остальных чисел этой строки?

11 класс

  1. Решите уравнение
        
  2. Пусть xy =1 и x > y . Докажите неравенство:
        
  3. В равнобедренном треугольнике АВС из середины Н основания ВС опущен перпендикуляр НЕ на боковую сторону АС. Точка О делит пополам отрезок НЕ. Докажите, что прямые АО и ВЕ перпендикулярны.
  4. Докажите, что при любом натуральном n число 9n - 8n - 1 кратно 64.
  5. В окружности с центром О дана хорда АВ и точка С на этой хорде такая, что угол между прямыми АВ и ОС равен 45°. Докажите, что величина AC2 + BC2 не зависит от выбора хорды АВ.

Разбор задач и награждение победителей — ровно через неделю, то есть 3 апреля в 10:00.

(фото кликабельны)

Результаты

А это – самые главные.
Конечно, не все. Те, кого удалось застать.

Flag Counter